三角函数作为高中数学的核心内容，是连接几何与代数的重要桥梁，其应用贯穿于物理、工程、计算机科学等多个领域。学生需掌握正弦、余弦、正切等基本函数的定义、图像、性质及运算规律，同时熟记特殊角度的三角函数值。这些数值不仅是解题的基础工具，更是理解三角函数周期性、对称性等本质特征的关键。通过单位圆、诱导公式、和差化积等知识点的学习，学生能够构建完整的三角函数知识体系，为后续学习参数方程、复数运算等高阶内容奠定基础。

高 中数学三角函数值

一、三角函数的定义与基本概念

三角函数以角度（或弧度）为自变量，通过单位圆定义各函数值。设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则：

  • 正弦函数：sinα = y
  • 余弦函数：cosα = x
  • 正切函数：tanα = y/x（x≠0时）

该定义将几何问题转化为代数运算，例如30°角的终边与单位圆交点坐标为(√3/2, 1/2)，因此sin30°=1/2，cos30°=√3/2。

二、特殊角度的三角函数值

掌握0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度的三角函数值，是快速解题的关键。以下为常见角度的三角函数值表：

角度sinαcosαtanα
0°010
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10不存在

三、三角函数的性质对比

正弦、余弦、正切函数在定义域、值域、周期性等方面存在显著差异，具体对比如下表：

性质sinαcosαtanα
定义域全体实数全体实数α≠kπ+π/2 (k∈Z)
值域[-1,1][-1,1]全体实数
周期性2π2ππ
奇偶性奇函数偶函数奇函数

四、诱导公式的系统化应用

诱导公式通过“奇变偶不变，符号看象限”的规律，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。例如：

  • sin(π-α) = sinα（第二象限正弦为正）
  • cos(3π/2+α) = sinα（利用cos→sin的转化）
  • tan(5π/2-α) = cotα（周期π与奇偶性结合）

该公式链可解决如sin225°的计算问题：225°=180°+45°，故sin225°=-sin45°=-√2/2。

五、和差化积与积化和差公式

此类公式实现三角函数式的形态转换，典型公式包括：

公式类型表达式
和差化积sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα - cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差sinα·cosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)]/2
cosα·cosβ = [cos(α+β) + cos(α-β)]/2

例如：将sin5θ + sin3θ化为积形式，可得2sin4θ·cosθ，简化积分运算。

六、三角函数图像的特征分析

正弦曲线y=sinx与余弦曲线y=cosx均具有以下特征：

  • 振幅：|A|（如y=2sinx的振幅为2）
  • 周期：T=2π/|ω|（如y=sin2x的周期为π）
  • 相位位移：φ=π/|ω|（如y=sin(x-π/3)右移π/3）

正切曲线y=tanx则表现为周期性渐近线结构，在x=kπ+π/2处发散。

七、三角函数在解三角形中的应用

通过正弦定理、余弦定理可实现边角互化：

定理表达式
正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
余弦定理c² = a² + b² - 2abcosC

例如：已知△ABC中a=7，b=5，C=60°，则c=√(7²+5²-2×7×5×cos60°)=√39≈6.24。

八、三角函数与其他数学分支的联系

三角函数与多个数学领域深度交叉：

  • 复数运算：欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ建立三角函数与复数的对应关系
  • 向量运算：二维向量夹角公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)依赖余弦函数
  • 微积分基础：d/dx(sinx)=cosx构成导数公式体系的核心环节

例如：计算复数乘法(1+i)(√3+i)时，可转化为模长相乘、幅角相加，即2∠45°×2∠30°=4∠75°。

三角函数体系通过定义延展、公式推导、图像分析三个维度构建，其核心价值在于将几何关系代数化。特殊角度的数值记忆是基础，而诱导公式、和差化积等技巧则是破解复杂问题的钥匙。深入理解周期性、奇偶性等性质，不仅能提升解题效率，更能培养数学抽象思维能力。通过对比不同函数的特性、串联多领域应用，学生可逐步形成完整的三角函数认知网络，为应对高考题型及未来学科交叉挑战奠定坚实基础。