导函数作为微积分学的核心工具，其公式体系构建了函数动态变化规律的数学语言。从基础幂函数到复杂复合函数，从显式表达式到隐式方程，导函数公式的演进体现了数学思维从直观到抽象的跨越。本文系统梳理八类核心导函数公式，通过横向对比与深度解析，揭示其内在逻辑与应用场景的差异性。
一、基础函数导数公式体系
基础函数导数是导函数理论的基石，包含常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数五大类别。
| 函数类型 | 表达式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 常数函数 | f(x)=C | f'(x)=0 |
| 幂函数 | f(x)=x^n | f'(x)=n x^{n-1} |
| 指数函数 | f(x)=a^x | f'(x)=a^x ln(a) |
| 对数函数 | f(x)=ln(x) | f'(x)=1/x |
| 三角函数 | f(x)=sin(x) | f'(x)=cos(x) |
二、四则运算导数法则
函数四则运算的导数遵循特定组合规则，其本质是通过极限运算的线性性质推导而来。
| 运算类型 | 表达式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 加法 | f(x)=u(x)+v(x) | f'(x)=u'(x)+v'(x) |
| 减法 | f(x)=u(x)-v(x) | f'(x)=u'(x)-v'(x) |
| 乘法 | f(x)=u(x)v(x) | f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) |
| 除法 | f(x)=u(x)/v(x) | f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/[v(x)]² |
三、复合函数链式求导法则
复合函数求导需应用链式法则，其核心思想是将外层函数与内层函数的导数逐层相乘。
| 函数结构 | 表达式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 双层复合 | f(x)=g(h(x)) | f'(x)=g'(h(x))·h'(x) |
| 三层复合 | f(x)=k(g(h(x))) | f'(x)=k'(g)·g'(h)·h'(x) |
四、反函数导数特性
反函数导数与原函数导数呈倒数关系，该特性在求解逆映射问题时具有重要价值。
| 函数关系 | 表达式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 显式反函数 | y=f⁻¹(x) | dy/dx=1/f'(y) |
| 隐式反函数 | F(x,y)=0 | dy/dx=-F_x/F_y |
五、隐函数求导方法
隐函数求导需构建偏导数方程组，通过联立方程解算导数表达式。
| 方程类型 | 表达式 | 求导方法 |
|---|---|---|
| 二元显式 | y=√(1-x²) | 直接求导法 |
| 多元隐式 | x³+y³=3axy | 偏导联立法 |
六、高阶导数计算规律
高阶导数呈现周期性变化特征，莱布尼茨公式为通用计算工具。
| 函数类型 | 一阶导数 | 二阶导数 | n阶导数通式 |
|---|---|---|---|
| 正弦函数 | cos(x) | -sin(x) | (-1)^n sin(x+nπ/2) |
| 指数函数 | e^x | e^x | e^x |
| 多项式函数 | 逐项降次 | 持续降次 | 最终趋零 |
七、参数方程求导法
参数方程导数需通过中间变量转换，体现多变量链式法则的应用。
| 参数形式 | 表达式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 平面曲线 | x=φ(t), y=ψ(t) | dy/dx=ψ'(t)/φ'(t) |
| 空间曲线 | r(t)=(x(t),y(t),z(t)) | dr/dt=(x',y',z') |
八、对数求导特殊技巧
对数求导法通过取自然对数简化运算，特别适用于幂指函数和连乘积函数。
| 函数类型 | 处理方式 | 导函数公式 |
|---|---|---|
| 幂指函数 | ln(y)=ln(u^v) | y'=y(u'/u+v'/v) |
| 连乘积函数 | ln(y)=∑ln(f_i) | y'=y∑(f_i')/f_i |
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