三角函数作为数学分析的核心工具，其公式体系在高等数学中展现出极强的系统性与实用性。大学阶段的三角函数公式不仅涵盖基础恒等式，更延伸至和差角、和差化积、倍角半角等复杂变换形式，形成完整的逻辑链条。这些公式通过代数运算与几何意义的深度结合，构建起解决物理振动、工程波动、信号处理等实际问题的数学框架。值得注意的是，公式间存在多重推导关系，例如倍角公式可视为和角公式的特殊情况，而积化和差与和差化积则互为逆运算。这种结构化特征使得三角函数公式成为衔接初等数学与高等数学的重要桥梁，其应用范围从基础计算延伸至傅里叶分析、微分方程等高级领域。
一、基本恒等关系
三角函数的基本恒等式构成公式体系的基础框架，包含倒数关系、平方关系和商数关系三类核心表达式。
| 类别 | 表达式 | 推导依据 |
|---|---|---|
| 倒数关系 | $$sintheta = frac{1}{csctheta}$$ $$costheta = frac{1}{sectheta}$$ $$tantheta = frac{1}{cottheta}$$ | 单位圆定义结合相似三角形 |
| 平方关系 | $$sin^2theta + cos^2theta = 1$$ $$1 + tan^2theta = sec^2theta$$ $$1 + cot^2theta = csc^2theta$$ | 勾股定理的三角函数表达 |
| 商数关系 | $$tantheta = frac{sintheta}{costheta}$$ $$cottheta = frac{costheta}{sintheta}$$ | 斜率定义与单位圆坐标比值 |
二、和差角公式
和差角公式建立角度加减运算与函数值之间的对应关系，是三角函数展开的重要基础。
| 函数类型 | 和角公式 | 差角公式 |
|---|---|---|
| 正弦函数 | $$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$$ | $$sin(a-b) = sin a cos b - cos a sin b$$ |
| 余弦函数 | $$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$$ | $$cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b$$ |
| 正切函数 | $$tan(a+b) = frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}$$ | $$tan(a-b) = frac{tan a - tan b}{1 + tan a tan b}$$ |
该组公式可通过单位圆向量旋转或欧拉公式两种途径推导，其中正切公式可由正弦/余弦公式派生得到。
三、和差化积与积化和差
这对互逆公式组实现三角函数乘积与和差形式的相互转换，在积分运算中具有特殊价值。
| 转换方向 | 和差化积 | 积化和差 |
|---|---|---|
| 正弦函数 | $$sin a cos b = frac{1}{2}[sin(a+b) + sin(a-b)]$$ | $$sin(a+b) + sin(a-b) = 2sin a cos b$$ |
| 余弦函数 | $$cos a cos b = frac{1}{2}[cos(a+b) + cos(a-b)]$$ | $$cos(a+b) + cos(a-b) = 2cos a cos b$$ |
| 混合函数 | $$sin a sin b = -frac{1}{2}[cos(a+b) - cos(a-b)]$$ | $$cos(a+b) - cos(a-b) = -2sin a sin b$$ |
公式推导可通过复数指数形式或纯代数运算完成，实际应用中需注意角度范围对符号的影响。
四、倍角公式
倍角公式揭示函数值随角度倍数变化的规律，是简化高次三角函数的关键工具。
| 函数类型 | 二倍角公式 | 三倍角公式 |
|---|---|---|
| 正弦函数 | $$sin 2a = 2sin a cos a$$ | $$sin 3a = 3sin a - 4sin^3 a$$ |
| 余弦函数 | $$cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = 2cos^2 a -1 = 1-2sin^2 a$$ | $$cos 3a = 4cos^3 a - 3cos a$$ |
| 正切函数 | $$tan 2a = frac{2tan a}{1 - tan^2 a}$$ | $$tan 3a = frac{3tan a - tan^3 a}{1 - 3tan^2 a}$$ |
高阶倍角公式可通过数学归纳法推导，在傅里叶级数展开中具有重要应用。
五、半角公式
半角公式将倍角公式逆向扩展，通过代数变形处理半角度函数值计算问题。
| 函数类型 | 正弦半角 | 余弦半角 | 正切半角 |
|---|---|---|---|
| 基本形式 | $$sinfrac{a}{2} = pmsqrt{frac{1 - cos a}{2}}$$ | $$cosfrac{a}{2} = pmsqrt{frac{1 + cos a}{2}}$$ | $$tanfrac{a}{2} = pmsqrt{frac{1 - cos a}{1 + cos a}} = frac{sin a}{1 + cos a} = frac{1 - cos a}{sin a}$$ |
| 符号判定 | 根据$frac{a}{2}$所在象限确定正负号 | ||
该组公式在不定积分计算中表现突出，通过合理选择表达式形式可显著简化运算过程。
六、诱导公式
诱导公式建立任意角三角函数与锐角三角函数的对应关系，其本质是单位圆对称性的数学表达。
| 角度类型 | 转换规则 | 函数值特征 |
|---|---|---|
| $frac{pi}{2}pmalpha$ | 正弦转余弦，余弦转正弦 | 符号由原函数所在象限决定 |
| $pipmalpha$ | 函数名称不变，角度取绝对值 | 符号与原函数相反 |
| $frac{3pi}{2}pmalpha$ | 正弦转余弦，余弦转正弦（二次转换） | 符号规律与$frac{pi}{2}$类似但相位偏移 |
口诀系统："奇变偶不变，符号看象限"，其中"奇偶"指$frac{kpi}{2}pmalpha$中的k奇偶性。
七、复合角公式
复合角公式处理多层级角度组合问题，通过递归应用基本公式实现复杂表达式展开。
| 组合类型 | 展开策略 | 典型示例 |
|---|---|---|
| 线性组合 | 逐层应用和差角公式 | $$sin(a+b+c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c - sin a sin b sin c$$ |
| 倍角嵌套 | 结合倍角公式分段处理 | $$sin 3a cos 2a = frac{1}{2}[sin 5a + sin a]$$ |
| 跨函数组合 | 统一转换为正弦/余弦形式 | $$tan(a+b)cot(a-b) = frac{sin(a+b)cos(a-b)}{sin(a-b)cos(a+b)}$$ |
处理此类问题需注意运算优先级和括号使用，复杂表达式建议采用分步展开法。
反三角函数通过建立角度与函数值的对应关系，解决三角函数多值性带来的求解问题。
| 函数类型 |
|---|
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