复变函数映射是复变函数理论中的核心内容，其通过解析函数将复平面上的区域转换为几何形态各异的新区域。这类映射不仅揭示了复变函数与平面几何的内在联系，更在流体力学、电磁场理论、空气动力学等领域具有重要应用价值。例如，幂函数映射可通过调整指数实现角域扩张或压缩，指数函数能将带形区域映射为扇形区域，而儒可夫斯基映射则在飞机翼型设计中发挥关键作用。本文以典型例题为基础，从映射性质、数学表达、几何特征等八个维度展开分析，结合深度对比表格揭示不同映射的差异化表现。

复 变函数映射例题

一、幂函数映射（w = z^n）

幂函数是复变函数映射中最基础的变换类型，其核心特性在于通过指数n实现角域的倍数扩张或收缩。当n为正整数时，映射将Z平面的角形区域转化为W平面的广角区域，且交于原点的两条夹角为θ的射线，经变换后成为夹角为nθ的射线。

映射类型典型区域角度变化规律模长关系
w = z^n (n∈N+)角形域θ∈(α,β)n·θ ∈(nα,nβ)|w|=|z|^n
w = z^(1/n)广角域θ∈(0,2π)θ/n ∈(0,2π/n)|w|=|z|^(1/n)

以n=3为例，Z平面中由射线arg(z)=π/6和arg(z)=π/3构成的30度角形域，经w=z³映射后，对应W平面中90度角形域。该变换保持模长的幂次关系，但将角度扩展为原来的3倍，这种特性使其在处理辐射状对称图形时具有显著优势。

二、指数函数映射（w = e^z）

指数函数通过周期性振荡特性实现带状区域到角形区域的转换。其映射关系可分解为模长指数增长与幅角线性叠加的组合效果，特别适用于处理水平带形区域（如0<Im(z)<2π）到完整复平面的映射。

映射类型定义域特征值域特征周期性表现
w = e^z0<Im(z)<2π全复平面除原点周期2πi
w = e^z-π<Im(z)<π右半复平面半周期πi

当处理垂直带形域σ_a<Re(z)<σ_b时，指数函数将其映射为环形域，模长范围变为e^σ_a<|w|<e^σ_b。这种模长指数化特性使得指数映射在热传导、波动方程等物理模型的复变解法中具有独特价值。

三、对数函数映射（w = ln z）

作为指数函数的逆变换，对数函数通过多值性处理实现角形域到带状域的转换。其主值分支将复平面割裂处理，形成主值映射w=ln z = ln|z| + i·arg(z)，其中幅角arg(z)被限制在(-π,π)区间。

映射类型切割方式单值分支定义域多值性表现
w = Ln z负实轴割裂|arg(z)|<π无限多分支
w = ln z (主值)同上同上单值化处理

对于Z平面中的圆环域r<|z|<R，经对数映射后转换为带形域ln r <Re(w)<ln R，虚部保持周期性延续。这种转换在处理环形域问题时，可将乘积关系转化为线性叠加，显著简化运算复杂度。

四、儒可夫斯基映射（w = z + 1/z）

该映射通过非线性组合实现单位圆内外区域的互换，其分式线性特征使得圆周|z|=1映射为实轴区间[-2,2]。当|z|>1时，w的实部绝对值大于2；当|z|<1时，w的实部绝对值小于2，形成独特的区域反转特性。

映射类型单位圆映射外部区域映射内部区域映射
w = z + 1/z实轴[-2,2]|w|≥2|w|≤2
w = z + a^2/z (a≠0)实轴[-2|a|,2|a|]|w|≥2|a||w|≤2|a|

在空气动力学应用中，儒可夫斯基映射可将圆柱体外流场转换为翼型绕流场。例如当z平面中的单位圆经变换后，在w平面形成具有尖后缘的对称翼型，这种几何转换能力使其成为航空工程中的经典工具。

五、分式线性映射（w = (az+b)/(cz+d)）

此类映射通过矩阵形式实现复平面的保形变换，其核心特性包括保持圆周/直线的映射性质、保对称性以及保交比不变。当ad-bc≠0时，该变换将Z平面的圆周或直线映射为W平面的圆周或直线。

映射类型保形性条件特殊变换形式典型应用
分式线性映射ad-bc≠0平移、旋转、反演共形映射设计
w = (z-α)/(1-αz)|α|≠1单位圆自映射数值计算优化

对于将上半平面映射为单位圆的内部问题，标准变换w=(z-i)/(iz-1)可实现Im(z)>0到|w|<1的转换。这种精确的区域控制能力在电磁屏蔽、声学反射等领域具有重要应用价值。

六、平方根映射（w = √z）

作为幂函数的特殊情形，平方根映射通过多值性处理实现半平面到全平面的扩展。其主值分支将Z平面的右半平面（Re(z)>0）映射为W平面的上半平面（Im(w)>0），同时保持角平分线特性。

映射类型分支切割方式主值定义域幅角范围
w = √z (主值)负实轴割裂Re(z)≥00≤arg(w)≤π/2
w = -√z (第二分支)同上Re(z)≥0π/2<arg(w)≤π

当处理Z平面中的扇形域0<arg(z)<π/2时，平方根映射将其转换为0<arg(w)<π/4的窄角域。这种角度压缩特性在处理雷达波束覆盖范围计算时，可有效简化空间几何建模过程。

七、正弦函数映射（w = sin z）

该映射通过周期性振荡与指数增长的结合，将Z平面的带状域转换为W平面的无限带状结构。其实部表现为双曲正弦函数特征，虚部保持线性关系，整体映射呈现周期性重复的波浪形结构。

映射类型垂直带映射水平带映射周期特性
w = sin zRe(z)∈(0,π) → Im(w)∈(0,π)Im(z)∈(0,π) → Re(w)∈(-∞,∞)周期2π
w = sinh z全平面映射全平面映射无周期性

在处理热传导方程的复变解法时，正弦映射可将时间变量转换为复平面坐标，通过带状域的周期性延拓，将瞬态温度场转换为稳态分布模型，显著提升解析求解效率。

八、复合映射构造（w = e^{iπz}）

通过指数函数与线性变换的组合，该映射实现Z平面到W平面的周期性翻转。其实质是将输入复数z的实部放大π倍后进行余弦变换，形成以2为周期的振荡映射，虚部保持线性叠加特性。

映射类型实部变换规律虚部变换规律周期特性
w = e^{iπz}cos(πx) · e^{-πy}sin(πx) · e^{-πy}周期2
w = e^{az} (a≠0)e^{a_r x}cos(a_i x) · e^{-a_i y}e^{a_r x}sin(a_i x) · e^{-a_i y}周期2π/|a_i|

在量子力学波函数分析中，此类映射可将能量本征态的指数衰减特性与空间周期性相结合，通过复平面变换直观展示概率密度分布特征，为解析求解薛定谔方程提供几何解释路径。

通过上述八大类典型映射的系统分析可见，复变函数映射通过解析函数的几何变换特性，建立了复平面区域与物理空间形态的对应关系。不同映射类型在角度处理、模长调控、区域转换等方面各具特色，实际应用中需根据具体问题特征选择适配的变换方法。掌握这些核心映射的数学本质与几何表现，不仅是理解复变函数理论的关键，更是解决工程实际问题的重要基础。