函数求导是微积分学的核心内容，其本质是通过极限工具研究函数变化率。导数的求解涉及多种数学工具与逻辑推理，需根据函数类型选择适配方法。基础求导需掌握基本初等函数导数公式，而复杂函数往往需结合四则运算、复合函数分解、隐函数显化等技巧。参数方程与极坐标方程的导数求解需引入参数化处理，高阶导数则需递归应用求导法则。特殊函数形式（如幂指函数）需借助对数求导法，而分段函数需重点关注分段点可导性判定。不同方法在适用场景、计算复杂度及易错点上存在显著差异，需通过系统性对比建立清晰认知。
一、基本初等函数导数公式
| 函数类型 | 导数公式 | 记忆要点 |
|---|---|---|
| 幂函数 (x^alpha) | (alpha x^{alpha-1}) | 指数降阶，系数前置 |
| 指数函数 (a^x) | (a^x ln a) | 底数不变，乘自然对数 |
| 对数函数 (ln x) | (frac{1}{x}) | 倒数关系 |
| 三角函数 (sin x) | (cos x) | 余弦对应正弦导数 |
二、四则运算求导法则
| 运算类型 | 导数公式 | 注意事项 |
|---|---|---|
| 加法 (u(x)+v(x)) | (u'(x)+v'(x)) | 逐项求导 |
| 乘法 (u(x)v(x)) | (u'(x)v(x)+u(x)v'(x)) | 防止漏项 |
| 除法 (frac{u(x)}{v(x)}) | (frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}) | 商法则易混淆分子符号 |
三、复合函数链式法则
设 (y=f(g(x)))，则导数为 (y'=f'(g(x)) cdot g'(x))。关键步骤包括：
- 识别外层函数与内层函数
- 先对外层变量求导
- 再乘以内层函数导数
| 典型形式 | 求导过程 | 易错点 |
|---|---|---|
| (sin(x^2)) | (cos(x^2) cdot 2x) | 遗漏内层导数因子 |
| (e^{3x}) | (e^{3x} cdot 3) | 指数与底数混淆 |
四、隐函数求导方法
对隐函数 (F(x,y)=0) 求导时，需执行以下操作：
- 两端同时对x求导
- 将y视为x的函数，使用链式法则
- 解方程分离y'
| 方程形式 | 求导步骤 | 特殊处理 |
|---|---|---|
| (x^2+y^2=1) | (2x+2y y'=0 Rightarrow y'=-frac{x}{y}) | 需回代原方程化简 |
| (xy+e^y=0) | (y+x y' + e^y y'=0 Rightarrow y'=-frac{y}{x+e^y}) | 合并同类项 |
五、参数方程求导
对于参数方程 (begin{cases} x=varphi(t) \ y=psi(t) end{cases})，导数计算遵循：
$$ frac{dy}{dx} = frac{psi'(t)}{varphi'(t)} quad (varphi'(t) eq 0) $$| 参数方程 | 计算过程 | 二阶导数 |
|---|---|---|
| (x=t^2, y=t^3) | (frac{dy}{dx}=frac{3t^2}{2t}=frac{3t}{2}) | 需对一阶导数再次求导 |
六、高阶导数计算
高阶导数通过递归定义 (f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]')。常用方法包括：
- 莱布尼茨公式：((uv)^{(n)} = sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)})
- 泰勒展开法：通过级数展开提取系数
- 递推规律：三角函数、指数函数的高阶导数呈现周期性
| 函数类型 | 二阶导数 | n阶导数规律 |
|---|---|---|
| (sin x) | (-sin x) | (sin^{(n)}x = sin(x+frac{npi}{2})) |
| (x^4) | (12x^2) | 多项式每求导一次降次 |
七、对数求导法
适用于幂指函数 (y=u(x)^{v(x)}) 或多因子乘积。核心步骤：
- 两边取自然对数：(ln y = v(x) ln u(x))
- 两端同时求导：(frac{y'}{y} = v'(x) ln u(x) + v(x) frac{u'(x)}{u(x)})
- 整理得：(y' = y left[ v'(x) ln u(x) + frac{v(x) u'(x)}{u(x)} right])
| 函数形式 | 对数转换 | 最终导数 |
|---|---|---|
| (x^x) | (ln y = x ln x) | (y' = x^x (ln x + 1)) |
| (sqrt{frac{(x+1)(x-2)}{x^3}}) | (ln y = frac{1}{2}[ln(x+1)+ln(x-2)] - frac{3}{2}ln x) | 需逐项求导后合并 |
八、分段函数可导性判定
分段函数 (f(x)) 在分界点 (x=a) 处可导需满足：
$$ lim_{h to 0^+} frac{f(a+h)-f(a)}{h} = lim_{h to 0^-} frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$| 函数定义 | 左导数 | 右导数 | 可导结论 |
|---|---|---|---|
| (f(x) = begin{cases} x^2 sinfrac{1}{x} & x eq 0 \ 0 & x=0 end{cases}) | (lim_{h to 0^-} h sinfrac{1}{h} = 0) | (lim_{h to 0^+} h sinfrac{1}{h} = 0) | 可导且 (f'(0)=0) |
| (f(x) = begin{cases} x & x geq 0 \ -x & x < 0 end{cases}) | (lim_{h to 0^-} frac{-h-0}{h} = -1) | (lim_{h to 0^+} frac{h-0}{h} = 1) | 不可导（左右导数不等） |
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