三角函数作为数学中连接几何与代数的核心工具，其公式体系不仅支撑着基础数学理论，更渗透至物理、工程、计算机科学等领域。从古希腊时期的弦长计算到现代复数域的拓展，三角函数历经数千年发展，形成了包含定义式、恒等式、变换公式及反函数在内的完整体系。其核心价值在于将周期性现象转化为可计算的数学模型，例如正弦函数描述简谐振动，反正切函数用于相位计算。本文将从定义、恒等式、变换公式、反函数等八个维度系统梳理三角函数公式，并通过对比表格揭示不同公式间的内在联系与适用场景。

三 角函数的公式大全

一、基础定义与特殊角值

三角函数的基础定义源于直角三角形与单位圆。设θ为任意角，其终边与单位圆交点坐标为(cosθ, sinθ)，由此衍生出六类基本函数：

函数名 定义式 特殊角值（0°/30°/45°/60°/90°）
正弦 sinθ y/r = 对边/斜边 0/1/2/√3/2/1
余弦 cosθ x/r = 邻边/斜边 1/√3/2/√2/2/0
正切 tanθ y/x = 对边/邻边 0/√3/1/√3/不存在

特殊角值规律体现数值对称性：sinθ与cosθ在0°-90°区间呈镜像对称，tanθ则在45°处达极值。

二、核心恒等式体系

三角恒等式构建了函数间的代数关系网络，其中毕达哥拉斯恒等式为根基：

公式类别 表达式 变形形式
毕达哥拉斯定理 sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ
平方关系 tan²θ + 1 = sec²θ cot²θ + 1 = csc²θ

该体系通过代数运算实现函数转换，如已知sinθ=3/5可推导cosθ=±4/5，符号由象限决定。

三、和差角公式与倍角公式

角度的加减运算通过和差角公式展开，形成函数值的复合计算规则：

公式类型 正弦表达式 余弦表达式
和角公式 sin(a±b)=sina cosb ± cosa sinb cos(a±b)=cosa cosb ∓ sina sinb
倍角公式 sin2a=2 sina cosa cos2a=cos²a - sin²a

倍角公式可视为和角公式的特例（当a=b时），在傅里叶级数展开中具有关键作用。

四、积化和差与和差化积

乘积转和差公式实现函数运算形式的转换：

转换方向 正弦型 余弦型
积化和差 sina sinb = [cos(a-b) - cos(a+b)] / 2 cosa cosb = [cos(a+b) + cos(a-b)] / 2
和差化积 sinx + siny = 2 sin[(x+y)/2] cos[(x-y)/2] cosx + cosy = 2 cos[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]

此类公式在信号处理中的频谱分析环节，可将乘积项转换为频率分量的线性组合。

五、半角公式与万能公式

半角公式通过倍角公式逆推得到，适用于角度细分场景：

函数类型 半角公式 象限修正条件
正切 tan(θ/2) = (1 - cosθ)/sinθ 根据θ/2所在象限定符号
万能公式 sinθ = 2tan(θ/2)/(1 + tan²(θ/2)) 统一用半角正切表示全角函数

万能公式将任意角三角函数转化为半角正切函数，在积分计算中可简化有理式表达。

六、诱导公式与周期性

诱导公式揭示函数在不同象限的对称特性：

变换类型 正弦变换 余弦变换
奇偶性 sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ
周期性 sin(θ+2π) = sinθ cos(θ+2π) = cosθ
移相特性 sin(π/2 - θ) = cosθ cos(π/2 - θ) = sinθ

周期性使三角函数成为描述波动现象的理想工具，如交流电分析中的相位计算。

七、反三角函数特性

反函数通过限制原函数定义域实现可逆性：

函数名 定义域 值域
arcsin x [-1,1] [-π/2, π/2]
arccos x [-1,1] [0, π]
arctan x (-∞, +∞) (-π/2, π/2)

主值区间的选择保证了反函数的单射性，如arcsin(sin(3π/4))=π/4而非3π/4。

八、复数域扩展公式

欧拉公式建立三角函数与复指数的桥梁：

公式名称 表达式 应用场景
欧拉公式 e^{iθ} = cosθ + i sinθ 交流电路分析/量子力学
棣莫弗定理 (cosθ + i sinθ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ) 复数幂运算/信号调制

该扩展使三角函数突破实数限制，在傅里叶变换中实现频域与时域的相互转换。

通过八大维度的系统梳理可见，三角函数公式体系呈现严密的逻辑层级：从基础定义出发，通过恒等变形衍生出各类变换公式，最终在复数域实现维度突破。不同公式间存在深层关联，如和差角公式与积化和差公式可通过代数运算相互推导，倍角公式与半角公式构成双向转换关系。掌握这些公式不仅需要记忆表达式，更需理解其几何意义与物理背景，方能灵活应用于实际问题的建模与求解。