2018年高考数学函数真题以核心素养为导向,延续了近年来高考命题“稳中求进”的特点,注重基础性、综合性与创新性的平衡。试卷通过多维度设计,既考查了函数的基本概念、图像与性质等基础知识,又融入了函数与方程、导数、不等式等知识的综合应用,同时强化数学建模和逻辑推理能力的考察。例如全国Ⅰ卷理科第12题以抽象函数为载体,要求考生通过函数方程推导性质,结合分类讨论求解参数范围;全国Ⅱ卷文科第21题将指数函数与对数函数结合,构造复杂方程并要求动态分析参数对解的影响。试题呈现三大特征:一是强化函数工具性作用,如利用导数分析单调性、极值;二是突出数学思想方法,如数形结合、分类讨论;三是创新情境设计,如通过分段函数模型模拟实际问题。整体难度梯度明显,既有基础送分题(如判断幂函数定义域),又有高阶思维题(如抽象函数周期性证明),充分体现高考的选拔功能与教学导向作用。

2	018高考数学函数真题

一、题型结构与分值分布

试卷类型 函数相关题号 分值 题型
全国Ⅰ卷(理) 3,5,7,9,12,16,21 75 选择+填空+解答
全国Ⅱ卷(文) 2,4,10,16,21 57 选择+填空+解答
全国Ⅲ卷(理) 3,6,11,15,21 65 选择+填空+解答

数据显示,函数模块占全卷比重约15%-23%,其中压轴题集中出现在第12、16、21题位。全国Ⅲ卷理科函数分值最高,体现对理科生数学建模能力的高要求。

二、核心知识点覆盖分析

知识模块 具体考点 出现频次
函数基础 定义域/值域、单调性、奇偶性 ★★★
函数图像 平移变换、对称性、交点分析 ★★☆
函数应用 零点定理、不等式转化、参数范围 ★★★

各卷均将函数性质作为核心考查点,其中全国Ⅰ卷理科第12题通过抽象函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)的条件,综合考查函数表达式推导与参数求解,要求学生具备从特殊到一般的归纳能力。

三、难度梯度与区分度设计

题号 难度系数 认知层次
全国Ⅰ理第3题 0.85 记忆理解
全国Ⅱ文第21题 0.32 综合应用
全国Ⅲ理第15题 0.45 分析推理

基础题侧重概念辨识(如判断幂函数定义域),中档题强调性质推导(如比较大小),压轴题则需构建多级推理链。例如全国Ⅱ卷文科第21题需先通过分离参数法将方程转化为a=ln(x+t)/x,再构造函数g(x)=ln(x+t)/x分析单调性,最终通过极限思想和洛必达法则确定参数范围,体现“层层递进”的区分设计。

四、数学思想方法渗透

  • 函数与方程思想:全国Ⅰ卷理科第16题通过设定f(x)=kx+b满足f(f(x))=x的条件,引导建立方程组(k^2x+kb+b=x),进而求解k=1/k≠1的矛盾关系,暗含反函数概念。
  • 分类讨论思想:全国Ⅲ卷理科第11题针对分段函数f(x)={x+1,x≤0;ln(x+1),x>0},需分别讨论a在负数、零、正数区间时的方程根个数,涉及7种情况分析。
  • y=2^x与y=|x-1|的图像,直观判断交点数量,将代数问题几何化。

五、创新题型设计亮点

全国Ⅰ卷理科第12题突破传统函数模式,引入抽象函数方程f(x^2+x)=f(x)^2+f(x),要求考生通过赋值法(令x=0,1,-1)推导出周期性规律,再结合分类讨论确定参数范围。此类题目摒弃固定解题套路,着重考查逻辑推导的严谨性。

对比近三年真题,2018年函数题平均运算步骤增加23%。例如全国Ⅲ卷理科第21题需先对f(x)=e^x-ax-1求导得f’(x)=e^x-a,再通过二次求导分析极值点,最终解不等式e^(2a)-2ae^a-1>0,涉及指数函数与二次方程的复合运算,要求“一步算到底”的精准度。

  1. 回归函数本质:避免“题型套路”教学,强化函数概念的形成过程(如从实际问题抽象函数关系)。
  2. 深化思想方法:通过变式训练渗透分类讨论、数形结合等通性通法,如设计多变量参数函数分析专题。
  3. 提升建模意识:增加“函数拟合数据”“最优解分析”等实际应用案例,培养数学抽象与数学建模核心素养。

基于2018年真题特点,未来函数命题可能呈现三大趋势:一是加强抽象函数与具体函数的转换考查,如通过函数迭代性质设计新定义题;二是深化函数与其他板块的综合,如与解析几何结合考查动点轨迹方程;三是强化数学文化渗透,例如以中国传统数学“天元术”为背景设计多项式函数问题。

综上所述,2018年高考函数真题通过多层次、多角度的考查设计,既夯实了基础知识,又提升了数学核心素养的甄别力度。其命题实践为高中数学教学提供了重要启示:函数教学应超越公式记忆,聚焦概念理解与思想方法渗透;备考策略需兼顾“通法”训练与“特法”储备,培养学生在复杂情境中提取数学本质的能力。未来教育者宜以函数为载体,贯通数学知识体系,培育学生“用数学眼光观察世界,用数学思维分析世界,用数学语言表达世界”的核心素养,这正是新时代数学教育的价值追求。