连续函数是数学分析中的核心概念，其定义与性质贯穿于微积分、实变函数等多个分支。例题作为理论与实践的桥梁，需覆盖连续性判断、间断点分类、闭区间性质应用等关键维度。典型例题常通过极限计算、分段函数构造、参数讨论等方式，深入检验学习者对ε-δ语言、左右极限协调性、介值定理等工具的掌握程度。本文选取八大类代表性例题，从定义验证、方法对比、定理应用等角度展开分析，结合数据表格揭示解题思路差异，旨在系统化呈现连续函数例题的教学价值与思维训练路径。
一、基于定义的连续性验证
连续性定义要求函数在某点处极限值等于函数值。例题常考查分段函数在分段点的连续性，需分别计算左右极限并与函数值比较。
| 例题编号 | 函数表达式 | 验证点 | 计算步骤 | 结论 |
|---|---|---|---|---|
| L1 | ( f(x) = begin{cases} x^2 & x geq 0 \ 2x+1 & x < 0 end{cases} ) | ( x=0 ) | 右极限：(lim_{x to 0^+} x^2 = 0)；左极限：(lim_{x to 0^-} (2x+1) = 1)；( f(0)=0 ) | 不连续（跳跃间断点） |
| L2 | ( f(x) = frac{sin x}{x} )（( x eq 0 )），补充( f(0)=1 ) | ( x=0 ) | (lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 = f(0)) | 连续 |
表1显示，L1因左右极限不等导致不连续，而L2通过极限计算验证连续性。定义法需严格遵循“极限存在且等于函数值”的判定流程。
二、间断点类型判断
间断点分为可去、跳跃、无穷三类，需结合极限状态与函数值综合判断。
| 例题编号 | 函数特征 | 极限行为 | 类型判定依据 |
|---|---|---|---|
| D1 | ( f(x) = frac{x^2-1}{x-1} )在( x=1 )处 | (lim_{x to 1} f(x) = 2)，但( f(1) )无定义 | 可去间断点（极限存在但函数未定义） |
| D2 | ( f(x) = tan x )在( x=frac{pi}{2} ) | (lim_{x to frac{pi}{2}} tan x = infty ) | 无穷间断点（极限不存在且趋于无穷） |
表2表明，可去间断点可通过补充定义修复，而无穷间断点反映函数在该点的发散特性。判断时需同步分析函数值与极限关系。
三、闭区间上连续函数的性质应用
介值定理与最值定理是闭区间连续函数的核心性质，例题常要求证明存在性或求解参数范围。
| 例题类型 | 函数条件 | 目标结论 | 关键步骤 |
|---|---|---|---|
| 介值定理应用 | ( f(x) = e^x - 2 )在([0,1]) | 存在( c in [0,1] )使( f(c)=0 ) | 计算端点值：( f(0)=-1 )，( f(1)=e-2≈0.718 )，由中间值定理得证 |
| 最值定理应用 | ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 )在([-1,3]) | 求全局最大值与最小值 | 求导得临界点( x=0,2 )，比较( f(-1)=-2 )，( f(0)=2 )，( f(2)=-2 )，( f(3)=2 )，故最大值为2，最小值为-2 |
表3对比显示，介值定理关注中间值存在性，而最值定理需遍历临界点与端点。两者均依赖函数在闭区间上的连续性。
四、分段函数连续性的参数求解
含参数的分段函数需通过连续性条件建立方程求解参数值，常见于考研数学题。
| 例题编号 | 函数表达式 | 连续性条件 | 参数解 |
|---|---|---|---|
| P1 | ( f(x) = begin{cases} ax + 1 & x leq 1 \ ln x + b & x > 1 end{cases} ) | (lim_{x to 1^-} (ax+1) = lim_{x to 1^+} (ln x + b) = f(1) ) | 解得( a=1 )，( b=1 ) |
| P2 | ( f(x) = begin{cases} e^{x+k} & x < 0 \ cos x & x geq 0 end{cases} ) | (lim_{x to 0^-} e^{x+k} = cos 0 = 1 ) | 代入得( e^{k} = 1 )，故( k=0 ) |
表4中参数求解需联立左右极限与函数值，体现连续性条件对函数整体结构的约束作用。
五、复合函数连续性分析
复合函数连续性取决于内外函数的连续性，例题常考查断点传递规律。
| 例题编号 | 函数结构 | 内层函数连续性 | 外层函数连续性 | 整体连续性 |
|---|---|---|---|---|
| C1 | ( f(x) = sin left( frac{1}{x} right) )（( x eq 0 )） | ( g(x) = frac{1}{x} )在( x=0 )不连续 | ( h(u) = sin u )处处连续 | ( f(x) )在( x=0 )不连续（内层不连续导致整体不连续） |
| C2 | ( f(x) = e^{sqrt{x}} ) | ( g(x) = sqrt{x} )在( x=0 )右连续 | ( h(u) = e^u )处处连续 | ( f(x) )在( x=0 )右连续（内层单侧连续保证整体单侧连续） |
表5表明，内层函数的不连续点可能直接导致复合函数不连续，但单侧连续性可传递至复合函数。
六、隐函数连续性证明
涉及隐函数存在的例题需结合连续性定义与方程求解，常出现在证明题中。
| 例题编号 | 方程形式 | 连续性证明思路 | 关键定理 |
|---|---|---|---|
| Y1 | ( x^2 + y^2 = 1 )（隐函数( y=f(x) )） | 通过反函数连续性推导，或直接验证极限值等于函数值 | 严格单调函数连续性 |
| Y2 | ( e^{xy} + x + y = 0 ) | 使用隐函数定理：验证偏导数( F_y eq 0 )，结合连续性保持性质 | 隐函数存在性定理 |
表6显示，显式表达与隐函数定理是两类主要证明路径，需根据方程特征选择合适的方法。
七、连续性与极限计算的综合应用
连续性可简化极限计算，例题常要求先补全函数定义再求极限。
| 例题编号 | 原函数缺陷 | 连续性修正方案 | 极限计算结果 |
|---|---|---|---|
| J1 | ( f(x) = frac{x^3 - 8}{x - 2} )（( x eq 2 )） | 定义( f(2) = lim_{x to 2} frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12 ) | (lim_{x to 2} f(x) = 12 )（利用连续性直接代入） |
| J2 | ( f(x) = (1 + 2x)^{frac{1}{x}} )（( x eq 0 )） | 补充( f(0) = lim_{x to 0} (1 + 2x)^{frac{1}{x}} = e^2 ) | (lim_{x to 0} f(x) = e^2 )（连续性修正后直接求值） |
表7案例表明，通过连续性补全函数定义后，原本需复杂计算的极限可转化为直接代入，显著降低计算难度。
八、连续性在实际问题中的建模应用
物理、几何问题常需建立连续函数模型，例题侧重检验数学工具的实际转化能力。
| 应用场景 | 数学模型 | 连续性作用 | 求解关键 |
|---|---|---|---|
| 温度变化监测 | ( T(t) = frac{t^2 + 5}{t + 1} )（( t geq 0 )） | 确保时间连续变化时温度无突变 | 验证( t=0 )处连续性：(lim_{t to 0} T(t) = 5 = T(0) ) |
| 平面图形面积计算 | 曲边梯形面积函数( A(x) = int_0^x f(t) dt ) | 被积函数( f(x) )连续保证面积函数可导 | 应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 |
表8展示连续性在保障模型合理性中的关键作用，如温度函数的连续避免物理悖论，面积函数的可导性支撑微积分运算。
通过对八大类例题的系统分析可见，连续函数例题设计紧密围绕定义验证、性质应用、参数求解等核心维度，既考查基础计算能力，又强调定理的综合运用。表格对比揭示了不同解题路径的差异，如定义法与定理法的互补性、参数问题中方程建立的逻辑链条。实际应用场景的融入，则凸显了连续性在数学建模中的桥梁作用。整体而言，例题体系通过多角度、多层次的训练，助力学习者深化对连续函数本质的理解，为后续学习微分、积分理论奠定坚实基础。
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