三角函数作为高中数学的核心内容，其公式体系不仅贯穿代数与几何的多个领域，更是解决物理、工程等实际问题的重要工具。从基础定义到复杂恒等式，三角函数的知识结构呈现出高度系统性与逻辑性，需通过多维度归纳才能形成完整认知。本文将从八个层面系统梳理三角函数公式，重点聚焦公式推导逻辑、应用场景及易错点，并通过对比表格强化关键知识点的辨析。

高 中数学三角函数的公式归纳

一、三角函数基础定义与核心概念

三角函数体系构建始于圆周运动与直角三角形的比例关系。弧度制与角度制的转换（180°=π弧度）是后续公式推导的基础，需掌握弧长公式l=rθ。单位圆定义法将三角函数扩展至全体实数域，例如sinα=y/r，其中r=√(x²+y²)。

函数类型定义式值域周期性
正弦函数y=sinα[-1,1]2π
余弦函数y=cosα[-1,1]2π
正切函数y=tanα=sinα/cosα全体实数π

二、诱导公式的系统归类

诱导公式本质是三角函数在不同象限的符号规律与周期性的综合应用。核心口诀"奇变偶不变，符号看象限"需结合α+k·π/2的变换形式理解。

变换类型函数名称变化象限符号规则
α+π/2sin→cos第二象限正负交替
α+πsin→-sin第三象限双负
α+3π/2cos→sin第四象限单负

三、两角和差公式的推导与拓展

以sin(α±β)和cos(α±β)为核心，可通过向量投影或单位圆旋转推导。特别注意tan(α+β)的交叉相乘结构：

公式类型正弦型余弦型正切型
和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
差角公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

四、二倍角公式的多维表达

由和角公式衍生出的二倍角公式存在三种等价形式，需根据解题需求灵活选用：

函数类型基本形式变形1（含sin²）变形2（含cos²）
正弦sin2α=2sinαcosαsin2α=2tanα/(1+tan²α)/
余弦cos2α=cos²α-sin²αcos2α=1-2sin²αcos2α=2cos²α-1
正切tan2α=2tanα/(1-tan²α)//

五、半角公式的符号判定

半角公式sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]的关键在于符号选择，需结合α/2所在象限判断。例如当α∈(π,2π)时，α/2∈(π/2,π)属第二象限，正弦为正。

原角范围半角范围sin(α/2)符号cos(α/2)符号
α∈(0,π)α/2∈(0,π/2)正正
α∈(π,2π)α/2∈(π/2,π)正负
α∈(2π,3π)α/2∈(π,3π/2)负负

六、和差化积与积化和差的互逆关系

该组公式通过加减辅助角实现形式转换，需注意cosα-cosβ的特殊处理：

转换方向和差化积积化和差
正弦和sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
余弦和cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
正弦差sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]/

七、解三角形的核心定理

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R与余弦定理c²=a²+b²-2abcosC构成解三角形的双核工具，需注意：

  • 正弦定理适用于已知两角一边或两边及其中一对角的情形
  • 余弦定理在已知三边求角或两边夹角求第三边时更具优势
  • 面积公式S=1/2absinC常作为中间计算环节

八、三角函数图像的性质对比

正弦曲线与正切曲线的形态差异显著，需从振幅、周期、渐近线等维度进行区分：

属性正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx
定义域全体实数全体实数x≠π/2+kπ
值域[-1,1][-1,1]全体实数
对称轴x=π/2+kπx=kπx=kπ/2
单调区间[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]↑[kπ,π+kπ]↓(-π/2+kπ,π/2+kπ)↑

通过上述八大维度的系统归纳可见，三角函数公式网络具有极强的内在关联性。掌握公式推导的逻辑链条比机械记忆更重要，例如从和角公式到二倍角、半角公式的演变过程。实际应用中需注意公式的适用条件，如正切函数的定义域限制、半角公式的符号判定等。建议建立公式树状图，将诱导公式作为根基，两角和差作为主干，逐步延伸至其他分支，最终形成立体知识体系。