如何绘制根轨迹

根轨迹作为经典控制理论的核心分析方法，能够直观展示系统特征根随参数变化的运动轨迹。本文将系统阐述根轨迹的绘制法则与工程应用，涵盖从基本概念到高阶系统的完整解析流程。通过十二个关键环节的递进式讲解，结合实例演示如何利用几何规则快速绘制精确轨迹，并深入探讨非最小相位系统等特殊情形的处理方法，为控制系统设计与校正提供实用指导。

       理解根轨迹的物理意义

       根轨迹本质是描述闭环控制系统特征方程根随开环增益变化而形成的几何路径。当工程师调整系统放大器增益时，闭环极点会在复平面内连续移动，其运动轨迹即构成根轨迹图。这种图形化分析方法由控制理论先驱伊万斯于1948年提出，其价值在于能够直观预测系统动态响应特性，包括稳定性、超调量及调节时间等关键指标的变化规律。

       建立特征方程标准形式

       绘制前需将系统开环传递函数转化为标准根轨迹方程：1 + K·G(s)H(s) = 0。其中K为可变增益，G(s)为前向通路传递函数，H(s)为反馈通路传递函数。通过提取分子多项式N(s)与分母多项式D(s)，方程可改写为1 + K·N(s)/D(s) = 0。这种标准化处理是后续应用绘制法则的基础，需确保分子分母均为s的多项式且首项系数归一化。

       确定轨迹的起点与终点

       根据伊万斯法则，根轨迹起始于开环极点（K=0时），终止于开环零点（K→∞时）。若系统具有n个极点、m个零点（n>m），则有n-m条轨迹趋向于无穷远处。例如三阶系统含两个有限零点时，必有一条轨迹沿渐近线延伸至无限远。精确标定所有极零点位置是绘制工作的第一步，需注意重极点处会产生分支分离。

       绘制实轴上的轨迹分布

       实轴区段的轨迹存在性由该区间右侧实极零点数量的奇偶性决定：若某区间右侧实极零点总数为奇数，则该区间必存在根轨迹。这一法则可通过相角条件直接验证。例如在实轴上有极点-2与零点-5，则区间(-5,-2)右侧仅含一个极点，故存在轨迹；而(-∞,-5)区间右侧极零点总数为零（偶数），故不存在轨迹。

       计算渐近线方向与交点

       趋向无穷远的轨迹分支会逼近一组渐近线。渐近线与实轴交点σa = (Σ极点-Σ零点)/(n-m)，倾角θa = (2k+1)π/(n-m)（k=0,1,...,n-m-1）。以四阶系统（极点-1,-2,-3,-4）为例，若无有限零点，则交点σa=(-10-0)/4=-2.5，渐近线角度分别为45°、135°、225°、315°。该计算确保无穷远分支的绘制准确性。

       求解分离点与汇合点坐标

       轨迹在实轴上的分离/汇合点需满足dK/ds=0的条件。通过求解方程N'(s)D(s)-N(s)D'(s)=0获得候选点，再代入验证K值为正实数。例如系统G(s)=1/[(s+1)(s+2)]时，方程简化为2s+3=0，得s=-1.5。此时K=(1.5-1)(1.5-2)=0.25>0，确认该点为合法分离点。复杂系统需借助数值方法求解高次方程。

       确定轨迹的出射角与入射角

       从复极点出发的轨迹出射角θdepart = 180° - Σ(极点夹角) + Σ(零点夹角)，向复零点收敛的入射角θarrive = 180° + Σ(极点夹角) - Σ(零点夹角)。以共轭极点-1±2j为例，若存在零点-3，需计算其余极点对该极点的向量夹角。这一几何关系可通过相角条件严格推导，确保复平面轨迹分支的初始方向精确无误。

       验证虚轴穿越点与临界增益

       轨迹与虚轴交点对应系统临界稳定状态，可通过劳斯判据或直接令s=jω求解。将s=jω代入特征方程，分离实部虚部建立方程组。例如系统1+K/(s³+2s²+3s)=0，代入得实部方程-2ω²+K=0，虚部方程-ω³+3ω=0，解得ω=√3，K=6。该点即为稳定边界，增益超过此值系统将失稳。

       处理非最小相位系统特性

       当系统含有右半平面零点或极点时，需调整相角条件为0°+360°·k（替代常规180°条件）。例如具有正反馈环节的系统，其轨迹绘制规则与负反馈系统存在本质差异。此类系统的轨迹可能始终位于右半平面，导致无条件不稳定，需通过零点配置进行补偿。工程中需特别注意液压伺服系统等易出现非最小相位特性的场景。

       应用根轨迹进行系统校正

       通过添加超前校正器（例如(s+z)/(s+p)，其中|z|<|p|）可使轨迹左移，改善系统动态响应。滞后校正器（|z|>|p|）则用于提高稳态精度而不影响稳定性。具体设计时需先在根平面确定期望极点位置，反算所需相角补偿量，再通过几何法确定零极点配置。这种方法比试错法更具理论指导性。

       结合频率法进行交叉验证

       根轨迹与伯德图存在内在关联：轨迹穿越虚轴点对应伯德图幅值穿越频率，轨迹与等阻尼比线的交点反映系统相位裕度。例如阻尼比ζ=0.707时，极点位于45°辐射线上，对应相位裕度约65°。这种关联性为多方法融合分析提供基础，可利用频率响应数据辅助轨迹精度校验。

       利用计算机工具辅助绘图

       现代控制设计软件（如MATLAB）的rlocus函数可实现高精度轨迹绘制，但手工绘图能力仍是理解系统本质的关键。建议先手工绘制草图，再通过软件验证。例如在MATLAB中输入sys=tf([1],[1 3 2])后执行rlocus(sys)，可自动生成标准二阶系统轨迹图，并与手工计算结果对比分析。

       解析时滞系统的轨迹特性

       含时滞环节e^(-τs)的系统需采用近似处理或根轨迹推广法。将时滞项用帕德近似转化为有理函数，或直接求解超越方程1+KG(s)e^(-τs)=0。此类轨迹会出现无限多分支，主分支决定稳定性。工程中常取一阶近似e^(-τs)≈(1-τs/2)/(1+τs/2)进行初步分析。

       处理重极点与重零点的特殊情形

       当系统存在r重极点时，该点处会分离出r条轨迹分支，出射角均分360°范围。例如双重极点处两条分支的出射角相差180°。重零点情况类似，但需注意轨迹汇合时的对称性。此类情形在机械共振系统中常见，需通过灵敏度分析确定参数容忍度。

       构建参数根轨迹族分析体系

       当可变参数非增益时（如时间常数），需通过特征方程重构将目标参数提取为等效增益。例如系统1+K/(Ts+1)(s+2)=0，若研究T变化的影响，可改写为1+T·Ks/[(s+1)(s+2)]=0。这种参数根轨迹能揭示系统对不同参数的敏感度，为多参数优化提供可视化工具。

       验证轨迹绘制结果的合理性

       完成绘制后需检查：轨迹分支数等于极点数；轨迹关于实轴对称；起始点与终止点符合法则；实轴轨迹段满足奇偶规则；渐近线角度与交点计算无误。推荐通过特殊点代入验证，如s=0点对应静态增益，s→∞处应符合渐近线方向。最终应能通过轨迹形状预判系统阶跃响应特性。

       工业应用中的实用技巧总结

       在实际工程中，通常先关注轨迹在虚轴附近的关键区域。对于高阶系统，可忽略远离虚轴的极零点进行简化分析。快速估算分离点位置时，可假设重根点位于极点点群中心。记录典型系统（如二阶振荡、积分型系统）的轨迹模板，能显著提升现场调试效率。这些经验法则需结合理论灵活应用。