二次函数例题及答案(二次函数例题解析)

二次函数作为初中数学的核心内容，既是代数与几何的交汇点，也是培养学生数学建模能力的重要载体。其例题设计需兼顾知识体系的完整性与思维能力的梯度性，通过多维度解析可揭示函数本质特征。典型例题应覆盖标准式、顶点式、交点式三种表达形式，融合配方法、公式法、因式分解法等解题策略，同时渗透数形结合思想。本文精选六道典型例题，从定义辨析、图像分析、参数求解、实际应用等角度展开，通过表格对比不同解法差异，强化学生对二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素的理解，并针对含参问题、动点问题等难点进行专项突破。

一、基础概念辨析

例1：判断函数y=2x²+3x-5是否为二次函数，并说明理由。

判断依据	具体表现
最高次数	x²项系数非零	是二次函数
定义形式	符合y=ax²+bx+c（a≠0）	符合标准定义

答案：是二次函数。理由：①最高次项为二次；②二次项系数2≠0；③符合标准形式。

二、图像性质分析

例2：画出y=-x²+2x+3的图像，并标出顶点、对称轴。

函数形式	开口方向	顶点坐标	对称轴
一般式y=ax²+bx+c	向下（a=-1＜0）	(1,4)	x=1
顶点式y=-(x-1)²+4	向下	(1,4)	x=1

答案：顶点(1,4)，对称轴x=1，图像开口向下。解析：通过配方将一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标。

三、顶点坐标求解

例3：求y=3x²-6x+5的顶点坐标。

解法类型	计算步骤	结果
配方法	y=3(x²-2x)+5=3(x-1)²+2	(1,2)
公式法	x=-b/(2a)=6/(2×3)=1，代入得y=2	(1,2)

答案：顶点坐标(1,2)。两种方法殊途同归，体现数形统一思想。

四、交点式应用

例4：已知抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0)，与y轴交于(0,6)，求函数解析式。

已知条件	表达式特征	待定系数
x轴交点(-1,0)和(3,0)	y=a(x+1)(x-3)	a值待定
y轴交点(0,6)	代入x=0得y=-3a	-3a=6→a=-2

答案：y=-2(x+1)(x-3)。解析：利用交点式快速构建解析式，通过y轴交点确定系数。

五、参数问题求解

例5：当m为何值时，y=(m-2)x²+3x-1是二次函数？

关键条件	限制要求	解集范围
二次项系数	m-2≠0	m≠2
定义域限制	全体实数有效	无额外限制

答案：m≠2。解析：紧扣二次函数定义中二次项系数非零的核心条件。

六、最值问题探究

例6：求y=2x²-4x+7的最小值。

解法类型	计算过程	最小值
配方法	y=2(x-1)²+5	5
公式法	(4ac-b²)/(4a)=(4×2×7-16)/8=5	5

答案：最小值为5。两种方法均通过变形找到顶点纵坐标。

七、实际应用建模

例7：某商品售价提高x元后，销量减少2x件，原日销30件，单价10元。若每日利润为200元，求x。

变量定义	关系表达式	方程构建
售价增量x元	新售价(10+x)元	销量(30-2x)件
利润模型	利润=收入-成本	(10+x)(30-2x)-10×30=200

答案：x=5或x=10。解析：建立二次方程模型，注意舍去不符合实际的增根。

八、综合题型突破

例8：已知抛物线y=ax²+bx+c经过(1,0)、(0,2)，且对称轴为x=1.5，求解析式。

已知条件转化	方程构建	求解结果
过点(1,0)	a+b+c=0	基础方程1
过点(0,2)	c=2	确定常数项
对称轴x=1.5	-b/(2a)=1.5→b=-3a	系数关系式

答案：y=-2x²+6x+2。解析：联立三点条件，通过消元法求解参数。

通过对八类典型例题的深度解析，可见二次函数问题始终围绕"数形结合"的核心思想展开。从基础概念辨析到复杂建模应用，需重点把握：1.二次项系数对开口方向的决定作用；2.顶点坐标公式的双重应用价值；3.交点式与一般式的灵活转换；4.含参问题中的多条件联立；5.最值问题与几何意义的对应；6.实际问题的数学抽象能力。建议通过建立错题档案，分类整理图像类、参数类、应用类题目，强化对函数动态变化的直观理解。